Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser på hvordan tallene endrer seg fra år til år. Endrer de seg med omtrent like mye hvert år, passer en lineær modell. Endrer de seg med omtrent samme prosent, passer en eksponentiell modell.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å lage modellene fra to av årene: en rett linje for bensin, og vekstfaktoren for elbilene med en rot, for eksempel \( {\left(\dfrac{5363}{557}\right)^{\tfrac{1}{7}} \approx 1{,}38} \) fra 2015 til 2022.

1. Velg modellene Bensinbilene blir færre hvert år, med mellom 193 og 895 biler. Nedgangen varierer, men den blir verken større eller mindre over tid: fra 2010 til 2016 er den i snitt 452 per år, og fra 2016 til 2022 er den 461. Vi velger derfor en lineær modell for bensin.

Elbilene blir stadig flere. Fram til 2015 var det få elbiler, og antallet ble mellom 1,8 og 7 ganger så stort hvert år. Fra 2015 ble det mellom 1,33 og 1,43 ganger så stort hvert år, altså omtrent samme prosent. Da er antallet startverdien ganget med en fast vekstfaktor én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. Vi velger derfor en eksponentiell modell for elbilene, fra 2015, da \( {t = 5}\text{.} \)

2. Lag modellene med regresjon Vi skriver \( t \) og bensintallene i regnearket og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det samme gjør vi med elbilene fra 2015. Regresjonen finner den linja og den eksponentialfunksjonen som går nærmest punktene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: B(x) = RegLin(l1) E(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{.} \) Det gir modellene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}79}t + 14\,243{,}25 \\ E(t) &\approx 107{,}76 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]Bensinbilene blir omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre hvert år, og elbilene blir omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere hvert år fra 2015. Andre begrunnede modeller kan også være riktige, for eksempel en andregradsfunksjon for elbilene.

Vi bruker modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva modellene sier om noen år, og sammenligner med hvor mange biler som finnes.

1. Se på bensinmodellen I a) fant vi modellen: \[ B(t) \approx \textcolor{blue}{-452}t + \textcolor{blue}{14\,243} \]Den gir \( {B(t) = 0} \) når \[ t = \dfrac{\textcolor{blue}{14\,243}}{\textcolor{blue}{452}} \approx 31{,}5 \]Ifølge modellen er bensinbilene borte mellom 2041 og 2042. Etter det gir den et negativt antall, så den kan gjelde høyst til 2041. Nedgangen vil trolig også endre seg når det blir færre bensinbiler igjen.

2. Se på elbilmodellen I a) fant vi modellen: \[ E(t) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \]Vekstfaktoren \( {\textcolor{red}{1{,}387} = 1 + 0{,}387} \) betyr at elbilene blir omtrent \( 39\,\% \) flere hvert år, som i videoen Vekstfaktor. I 2030 er \( {t = 20}\text{:} \) \[ E(20) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^{20} \approx 74\,800 \]

I 2022 var det til sammen dette antallet personbiler i Moss: \[ \begin{aligned} &8705 + 8533 + 0 \\ &+ 2 + 5363 + 3414 \\ &= 26\,017 \end{aligned} \]Modellen gir nesten tre ganger så mange elbiler i 2030. Så mange biler blir det ikke, så veksten må flate ut. Den eksponentielle modellen gjelder derfor bare noen få år framover.

1. Bruk modellene i GeoGebra I a) lagret vi modellene som \( B \) og \( E \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}79}t + 14\,243{,}25 \\ E(t) &\approx 107{,}76 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]Vi finner nullpunktet til \( B \) og regner ut \( E(20)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N = Nullpunkt(B) e = E(20)

Nullpunktet er \( {N \approx (31{,}5266,\ 0)}\text{,} \) altså mellom 2041 og 2042, og \( {E(20) \approx 74\,578}\text{:} \) nesten tre ganger alle de 26 017 personbilene i Moss i 2022. Bensinmodellen kan derfor gjelde høyst til 2041, og elbilmodellen bare noen få år.