Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

likningssett

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i S1 om likningssett

Oppgavene

S1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Amalie arbeider med en funksjon f f med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.
Hun husker at f f er kontinuerlig for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.} Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at f′(−2)=−9 {f'(-2) = -9} og f′(1)=0. {f'(1) = 0}\text{.}
Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Hele funksjonsuttrykket er
f(x)=−9x−15 na˚r x<−2‾‾f(x)=p(x) na˚r −2≤x≤1‾‾f(x)=x22−x−72 na˚r x>1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f(x) = -9x - 15 \text{ når } x < -2}} \\ &\underline{\underline{f(x) = p(x) \text{ når } -2 \le x \le 1}} \\ &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \text{ når } x > 1}} \end{aligned}
der uttrykket i midten er
p(x)=−1327x3+79x2−19x−11327‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} p(x) = {} & -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 \\ & - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \end{aligned}}}
Uttrykket i midten er et tredjegradspolynom med fire ukjente koeffisienter. Kontinuiteten i de to skjøtene og de to deriverte vi kjenner, gir fire likninger.
Metode: For hånd
1. Skriv opp kravene Vi kaller uttrykket i midten \[ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
\( f \) er kontinuerlig der den skifter uttrykk når uttrykkene på hver side går mot samme verdi, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I \( {x = -2} \) og \( {x = 1} \) gjelder \( p(x)\text{,} \) så \( p \) må ha de verdiene de ytre uttrykkene går mot: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2^-} f(x) &= -9 \cdot (-2) - 15 = \textcolor{blue}{3} \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]
De deriverte i de to punktene er gitt, \( {f'(-2) = \textcolor{blue}{-9}} \) og \( {f'(1) = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) og der gjelder \( p(x)\text{.} \) Kravene \( {p(-2) = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {p'(-2) = \textcolor{blue}{-9}}\text{,} \) \( {p(1) = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {p'(1) = \textcolor{red}{0}} \) gir fire likninger: \[ \begin{aligned} \text{I: } & -8a + 4b - 2c + d = \textcolor{blue}{3} \\ \text{II: } & 12a - 4b + c = \textcolor{blue}{-9} \\ \text{III: } & a + b + c + d = \textcolor{red}{-4} \\ \text{IV: } & 3a + 2b + c = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]
2. Uttrykk b og c ved a Vi trekker I fra III og II fra IV: \[ \begin{aligned} \text{III} - \text{I: } & 9a - 3b + 3c = -7 \\ \text{IV} - \text{II: } & -9a + 6b = 9 \end{aligned} \]Den siste gir \( {b = \dfrac{3 + 3a}{2}}\text{,} \) og IV gir \( {c = -3a - 2b = -6a - 3}\text{.} \)
3. Finn koeffisientene Vi setter \( b \) og \( c \) inn i \( {9a - 3b + 3c = -7}\text{:} \) \[ 9a - \dfrac{9 + 9a}{2} - 18a - 9 = -7 \]
Vi ganger med \( 2 \) og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 18a - 9 - 9a - 36a - 18 &= -14 \\ -27a &= 13 \\ a &= -\dfrac{13}{27} \end{aligned} \]
Det gir resten: \[ \begin{aligned} b &= \dfrac{1}{2}\left(3 - \dfrac{13}{9}\right) = \dfrac{7}{9} \\ c &= -6 \cdot \left(-\dfrac{13}{27}\right) - 3 = -\dfrac{1}{9} \\ d &= -4 - a - b - c = -\dfrac{113}{27} \end{aligned} \]
Uttrykket i midten er altså: \[ p(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs kravene i CAS Vi skriver de to uttrykkene vi kjenner og polynomet inn i CAS, setter opp de fire kravene i hver sin rad og løser dem med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g(x) := -9x - 15 h(x) := x^2/2 - x - 7/2 p(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d p(-2) = g(-2) p'(-2) = -9 p(1) = h(1) p'(1) = 0 Løs({$4, $5, $6, $7}, {a, b, c, d})
CAS gir \( {a = -\dfrac{13}{27}}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{9}}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{1}{9}} \) og \( {d = -\dfrac{113}{27}}\text{.} \)