Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Deriver de to første leddene 0:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{green}{3x^2} \) derivert blir derfor \( {3 \cdot 2x = \textcolor{green}{\underline{6x}}}\text{.} \)

\( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

2. Deriver brøken med kvotientregelen 0:45 For å derivere \( {\dfrac{3}{x - 2}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Telleren \( 3 \) er en konstant, så den har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 2}) - \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 2})^2} \\ \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \textcolor{darkorange}{\underline{-\dfrac{3}{(x - 2)^2}}} \end{aligned} \]

3. Slå sammen leddene 2:18 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{green}{6x} + 0 \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{3}{(x - 2)^2}} \]

Vi ser at funksjonen består av to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, og begge med kjerneregelen.

1. Deriver potensen med kjerneregelen 0:17 Å gange ut \( {(3x + 2)^3} \) blir tungvint, så vi bruker kjerneregelen. Den forteller oss at vi deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \left(\textcolor{green}{u}^3\right)' = 3\textcolor{green}{u}^2 \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x + 2} \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left((3x + 2)^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{3x + 2})^2 \cdot \textcolor{green}{3} \\ \left((3x + 2)^3\right)' &= \textcolor{blue}{\underline{9(3x + 2)^2}} \end{aligned} \]

2. Deriver ln-leddet 2:51 For \( \ln \) av en kjerne gir kjerneregelen: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\ln(3x)\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{x}}} \]

3. Slå sammen leddene 3:43 \( \ln(3x) \) er bare definert når \( {3x > 0}\text{,} \) altså for \( {x > 0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ h'(x) = \textcolor{blue}{9(3x + 2)^2} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{x}} \]