Eksamensoppgaver etter tema

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange grupper det kan bli med 4 og med 3 medlemmer, og sammenligner.

1. Skriv opp hvordan vi teller grupper Velger vi medlemmene én om gangen, er det \( 7 \) muligheter for den første, \( 6 \) for den andre og så videre. Da teller vi hver gruppe én gang for hver rekkefølge medlemmene kan velges i, så vi deler på antall rekkefølger. Det er binomialkoeffisienten: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

2. Tell gruppene av begge størrelser Her er \( {n = 7} \) medlemmer å velge blant, og vi velger \( {\textcolor{blue}{k = 4}} \) eller \( {\textcolor{red}{k = 3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\binom{7}{4}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{840}{24} = 35 \\ \textcolor{red}{\binom{7}{3}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{210}{6} = 35 \end{aligned} \]

Det er altså like mange grupper med 4 som med 3 medlemmer. Det er ikke tilfeldig: å velge de 4 som skal være med, er det samme som å velge de 3 som ikke skal være med. Påstanden er derfor usann.