Eksamensoppgaver etter tema

Vi tar sokkene én om gangen. For hver sokk finner vi sannsynligheten for at den er gul, og ganger sannsynlighetene sammen.

1. Ta sokkene én om gangen Det ligger \( {6 + 5 + 4 = 15} \) sokker i skuffen, og 6 av dem er gule. Når den første sokken er gul, er det 14 sokker igjen, og 5 av dem er gule: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Sokk 1: }} & \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \\ \textcolor{red}{\text{Sokk 2: }} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Begge må være gule, så vi ganger sannsynlighetene sammen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} = \dfrac{30}{210} \\ P &= \dfrac{1}{7} \end{aligned} \]

«Minst 2 av samme farge» dekker alle tilfellene unntatt ett: at de tre sokkene har hver sin farge. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten har alle tre sokkene ulik farge, eller så har minst to av dem samme farge. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst 2 like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike Tre ulike farger betyr én gul, én svart og én hvit. Tar vi dem i rekkefølgen gul, svart, hvit, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{GSH}) &= \dfrac{6}{15} \cdot \dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{4}{13} \\ P(\text{GSH}) &= \dfrac{120}{2730} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} \end{aligned} \]

I en annen rekkefølge, for eksempel svart, gul, hvit, står de samme tallene 6, 5 og 4 i tellerne, bare i en annen rekkefølge. Alle rekkefølgene har derfor sannsynligheten \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}}\text{.} \) Det er \( {3 \cdot 2 \cdot 1 = 6} \) rekkefølger: \[ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} = 6 \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} = \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \]

3. Trekk fra 1 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst 2 like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \\ P(\text{minst 2 like}) &= \dfrac{67}{91} \end{aligned} \]

Vi setter opp overskuddet og finner der den deriverte skifter fra pluss til minus. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det Edison får for bilene, minus det bilene koster å lage, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{green}{\text{inntekt}} - \text{kostnad} \]

Vi regner alt i 1000 kroner, som kostnaden. Hver bil gir 600 tusen kroner, så \( x \) biler gir inntekten \( \textcolor{green}{600x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{green}{600x} - K(x) \\ O(x) &= \textcolor{green}{600x} - 200x \cdot 1{,}015^x - 200 \end{aligned} \]

2. Deriver overskuddet Leddet \( {200x \cdot 1{,}015^x} \) er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}}\text{,} \) gir kjerneregelen \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{200x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{200} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og deriverer \( 600x \) og \( {-200} \) for seg, får vi: \[ \begin{aligned} O'(x) = {} & 600 - \textcolor{red}{200} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x} \\ & - \textcolor{red}{200x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram med hele tall \( {O'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Men begge leddene vi trekker fra, vokser når \( x \) øker, så \( O' \) avtar og skifter fortegn bare én gang. Toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & O'(x) \\ \hline 40 & 21{,}13 \\ 41 & 6{,}96 \\ 42 & -7{,}50 \\ 45 & -52{,}70 \end{array} \]Den deriverte skifter fortegn mellom 41 og 42. Overskuddet øker fram dit og minker etterpå.

4. Sammenlign de to hele tallene Edison kan ikke lage en del av en bil, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(41) &\approx 9301{,}92 \\ O(42) &\approx 9301{,}68 \end{aligned} \]41 biler gir størst overskudd, omtrent 9,3 millioner kroner.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(41) \) og \( O(42)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 O(x) = 600x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 100) o_1 = O(41) o_2 = O(42)

Toppunktet er \( {T \approx (41{,}4842,\ 9303{,}6138)}\text{,} \) og \( {O(41) \approx 9301{,}9248} \) er større enn \( {O(42) \approx 9301{,}6842}\text{.} \) 41 biler gir størst overskudd.

Vi deler kostnaden på antall biler og finner der den deriverte skifter fra minus til pluss. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per bil, altså kostnaden delt på antall biler. Vi deler hvert ledd i telleren med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(x) &= \dfrac{K(x)}{x} \\ E(x) &= \dfrac{200x \cdot 1{,}015^x + 200}{x} \\ E(x) &= \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{200}{x}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x}} \) derivert blir \( {\textcolor{blue}{\underline{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015}}}\text{,} \) siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}} \) og kjerneregelen gir \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{red}{\dfrac{200}{x}} \) skriver vi som \( {200x^{-1}}\text{.} \) Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Med \( {n = -1} \) blir \( {\textcolor{red}{200x^{-1}}} \) derivert \( {-200x^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{200}{x^2}}}}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ E'(x) = \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015} \textcolor{red}{{}- \dfrac{200}{x^2}} \]

3. Prøv deg fram med hele tall \( {E'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Når \( x \) øker, vokser det blå leddet, og det røde nærmer seg 0, så \( E' \) øker og skifter fortegn bare én gang. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & E'(x) \\ \hline 5 & -4{,}79 \\ 7 & -0{,}78 \\ 8 & 0{,}23 \\ 10 & 1{,}46 \end{array} \]Den deriverte skifter fra minus til pluss mellom 7 og 8. Enhetskostnaden minker fram dit og øker etterpå.

4. Sammenlign de to hele tallene Vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} E(7) &\approx 250{,}54 \\ E(8) &\approx 250{,}30 \end{aligned} \]8 biler gir lavest enhetskostnad, omtrent 250 300 kroner per bil.

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( E \) for \( {x > 0}\text{,} \) finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( E(7) \) og \( E(8)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 E(x) = K(x)/x, x > 0 B = Ekstremalpunkt(E, 1, 40) e_1 = E(7) e_2 = E(8)

Bunnpunktet er \( {B \approx (7{,}7368,\ 250{,}2679)}\text{,} \) og \( {E(8) \approx 250{,}2985} \) er mindre enn \( {E(7) \approx 250{,}5404}\text{.} \) 8 biler gir lavest enhetskostnad.

Prisen per bil er ukjent. Vi kaller den \( p\text{,} \) setter overskuddet for 70 biler lik 15 millioner kroner og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi regner i 1000 kroner, som kostnaden, så 15 millioner kroner er \( 15\,000\text{.} \) Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) per bil er inntekten for 70 biler \( 70\textcolor{blue}{p}\text{,} \) og overskuddet er inntekten minus kostnaden, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 70\textcolor{blue}{p} - K(70) = 15\,000 \]

2. Regn ut kostnaden og prisen Med kalkulatoren er kostnaden for 70 biler: \[ \begin{aligned} K(70) &= 200 \cdot 70 \cdot 1{,}015^{70} + 200 \\ K(70) &\approx 39\,896{,}39 \end{aligned} \]

Vi legger til \( K(70) \) på begge sider og deler med 70: \[ \begin{aligned} 70\textcolor{blue}{p} &\approx 15\,000 + 39\,896{,}39 \\ \textcolor{blue}{p} &\approx \dfrac{54\,896{,}39}{70} \approx 784{,}234 \end{aligned} \]Prisen er omtrent 784,234 tusen kroner, altså 784 234 kroner per bil. Det er mer enn 600 000 kroner, som teksten sier.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver inn \( K \) og løser \( {70p - K(70) = 15\,000} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 200x*1.015^x + 200 Løs(70p - K(70) = 15000, p)

CAS gir \( {p \approx 784{,}2341}\text{,} \) altså omtrent 784 234 kroner per bil.

Påstanden skal gjelde for alle \( {x > 0}\text{,} \) så vi viser den generelt. Vi skriver om \( {k \cdot \ln(x)} \) med en logaritmeregel, og bruker at \( e \) opphøyd i \( \ln \) av et tall gir tallet tilbake.

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Med \( {a = x} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}} \) er \( {\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)}\text{.} \) Det går fordi \( {x > 0}\text{.} \)

2. Bruk definisjonen av ln \( \ln u \) er tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{.} \) Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}} \) får vi: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} &= e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} \\ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} &= x^{\textcolor{green}{k}} \end{aligned} \]Dette gjelder for alle \( {x > 0} \) og alle tall \( k\text{.} \) Påstanden er derfor sann.

Påstanden skal gjelde for alle \( a \) og \( b \) med \( {1 < a < \dfrac{b}{2}}\text{.} \) Finner vi ett tilfelle der den ikke stemmer, er den usann, så vi prøver med små tall.

1. Skriv opp binomialkoeffisienten \( \dbinom{n}{k} \) er antall måter å velge \( k \) av \( n \) på. Vi regner den ut slik: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

2. Prøv med små tall Det minste heltallet med \( {1 < a} \) er \( {a = 2}\text{,} \) og \( {2 < \dfrac{b}{2}} \) gir \( {b > 4}\text{.} \) Vi prøver \( {\textcolor{blue}{b = 5}} \) og \( {\textcolor{red}{a = 2}}\text{,} \) der \( {1 < 2 < \dfrac{5}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{5}}{3} &= \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \\ \binom{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{2}} &= \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \end{aligned} \]

De to er like, så \( {\dbinom{5}{3} > \dbinom{5}{2}} \) stemmer ikke. Det er et moteksempel, og påstanden er derfor usann. Det er ikke tilfeldig: å velge de 3 som skal være med, er det samme som å velge de 2 som ikke skal være med.

Vi teller alle passord med seks bokstaver, og trekker fra dem som bare har små eller bare store bokstaver.

1. Tell alle passordene med bokstaver Vi regner med det norske alfabetet, som har 29 bokstaver, altså 29 store og 29 små. Hvert av de 6 tegnene kan da være en av \( \textcolor{blue}{58} \) bokstaver, så vi ganger antall valg for hvert tegn: \[ \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} = 58^6 \]

2. Trekk fra passordene som bryter reglene Et passord med bare bokstaver bryter reglene når det mangler en stor eller mangler en liten bokstav. Vi trekker dem fra, som når vi bruker den motsatte hendelsen i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med bare små bokstaver har hvert tegn \( \textcolor{red}{29} \) valg, og det samme med bare store: \[ \begin{aligned} &58^6 - \textcolor{red}{29}^6 - \textcolor{red}{29}^6 \\ &= 38\,068\,692\,544 - 2 \cdot 594\,823\,321 \\ &= 36\,879\,045\,902 \end{aligned} \]Det er omtrent \( {3{,}7 \cdot 10^{10}}\text{,} \) altså 37 milliarder passord.

1. Regn ut i CAS Vi skriver uttrykket fra kalkulatorruten inn i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: 58^6 - 2*29^6

CAS gir 36 879 045 902 passord.

Vi sammenligner med antallet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Jo flere passord som er mulige, jo vanskeligere er det å gjette ett. Vi teller passordene etter regelsett 2 og sammenligner med a).

1. Velg plassene Først velger vi hvilke 2 av de 6 plassene som får store bokstaver, og så hvilke 2 av de 4 som er igjen, som får små. Sifrene får de 2 siste. Antall måter å velge \( k \) av \( n \) plasser på er binomialkoeffisienten: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2}} &= \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \\ &= 15 \cdot 6 = \textcolor{darkorange}{90} \end{aligned} \]

2. Fyll plassene Hver plass med stor eller liten bokstav har 29 valg, og hver plass med siffer har 10 valg (0 til 9): \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{90} \cdot 29^2 \cdot 29^2 \cdot 10^2 \\ &= \textcolor{darkorange}{90} \cdot 707\,281 \cdot 100 \\ &= 6\,365\,529\,000 \end{aligned} \]

3. Sammenlign med a) I a) fant vi 36 879 045 902 passord med regelsett 1: \[ \dfrac{36\,879\,045\,902}{6\,365\,529\,000} \approx 5{,}8 \]Regelsett 2 gir omtrent 5,8 ganger færre passord. Selv om reglene er flere, blir det lettere å gjette et passord ved å prøve alle. Kravet om nøyaktig to av hver sort låser for mye.

1. Regn ut i CAS Vi regner ut antallet og forholdet til a) i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(6,2)*nCr(4,2)*29^4*10^2 (58^6 - 2*29^6)/(nCr(6,2)*nCr(4,2)*29^4*10^2)

CAS gir 6 365 529 000 passord, omtrent 5,8 ganger færre enn med regelsett 1.

Vi tar terningene én om gangen. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt, og vi ganger sannsynlighetene sammen.

1. Finn sannsynligheten for hver terning Den første terningen kan vise hva som helst, så \( \textcolor{blue}{6} \) av de \( \textcolor{red}{6} \) sidene er gunstige. Den andre må vise noe annet enn den første, så \( \textcolor{blue}{5} \) sider er gunstige, og så videre. Vi skriver de gunstige sidene i blått og alle sidene i rødt: \[ \begin{aligned} \text{Terning 1: } & \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 2: } & \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 3: } & \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 4: } & \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 5: } & \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Hver brøk gjelder når terningene før har vist forskjellig antall øyne, så vi ganger brøkene sammen, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \\ P &= \dfrac{\textcolor{blue}{720}}{\textcolor{red}{7776}} = \dfrac{5}{54} \approx 0{,}093 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der vi får nøyaktig tre seksere. Vi lar et program kaste fem terninger svært mange ganger og telle.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive én funksjon for ett kast med fem terninger og en løkke som teller, og på å forklare hva hver del gjør.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett kast med fem terninger, og mange kast. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett kast Funksjonen \( \texttt{kast()} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger med \( \texttt{randint(1, 7)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får et tall fra 1 til 6, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang terningen viser 6, øker \( \texttt{antall\_seksere} \) med 1, og funksjonen returnerer antall seksere.

3. Tell kastene med tre seksere Løkka i linje 17 til 19 kaster de fem terningene \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_tre\_seksere}} \) hvor mange kast som har nøyaktig tre seksere, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{kast med tre seksere}}}{\textcolor{red}{\text{alle kast}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at vi fikk nøyaktig tre seksere i omtrent \( 3{,}2\,\% \) av kastene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 3{,}2\,\%\text{.} \)

Kontroll: Med binomisk fordeling, \( {n = 5} \) og \( {p = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) er den eksakte sannsynligheten \( {10 \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{125}{3888}}\text{,} \) altså omtrent \( 3{,}2\,\%\text{.} \) Tallet \( {10 = \dbinom{5}{3}} \) er antall måter å velge hvilke tre terninger som viser 6 på.