Eksamensoppgaver etter tema

Lineær nedgang betyr at bestanden går ned med like mange par hvert år. Vi finner den rette linja gjennom punktene \( (0, 9000) \) og \( (9, 2500)\text{.} \)

1. Finn stigningstallet og konstantleddet En lineær modell har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og konstantleddet \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som er verdien når \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{6500}{9} \approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]

2. Forklar hva modellen forteller Stigningstallet forteller at bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år. Vi finner når den blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -722{,}2x + 9000 &= 0 \\ x &= \dfrac{9000}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Ifølge modellen er vipa borte omtrent 12,5 år etter 2013, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir modellen negative tall, så den kan bare brukes fram til da.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene, bruker lineær regresjon med RegLin og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1) N = Nullpunkt(f)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx -722{,}2222x + 9000} \) og nullpunktet \( {N \approx (12{,}4615,\ 0)}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år og er borte mellom 2025 og 2026.

Eksponentiell nedgang betyr at bestanden går ned med samme prosent hvert år. Modellen har formen \( {9000 \cdot v^x}\text{,} \) og vekstfaktoren \( v \) finner vi fra tallet for 2022.

1. Finn vekstfaktoren En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{v} \) én gang per år. I 2013 er bestanden \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^x \]

I 2022 er \( {x = 9} \) og bestanden 2500. Vi setter opp likningen som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^9 = 2500 \]

Vi deler med 9000 og tar niende rot, som er det samme som å opphøye i \( \dfrac{1}{9}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{v}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{v} &= \sqrt[9]{\dfrac{2500}{9000}} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]

2. Forklar hva modellen forteller Vekstfaktoren er mindre enn 1, så bestanden går ned. Nedgangen per år er 1 minus vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ 1 - 0{,}8673 = 0{,}1327 = 13{,}27\,\% \]Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år.

Hvert år forsvinner færre par, fordi 13,3 % av en mindre bestand er færre par. Bestanden blir mindre og mindre, men \( {9000 \cdot 0{,}8673^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så ifølge modellen dør vipa aldri helt ut.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år og blir aldri helt borte.

Vi sammenligner punktene på grafene til \( p \) og \( q \) og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene, og \( q \) fra \( p\text{.} \)

1. Gjør rede for antakelsene Hvert punkt på \( q \) ligger 2000 over punktet på \( p\text{:} \) \( {7000 + 2000 = 9000} \) og \( {500 + 2000 = 2500}\text{.} \) Derfor er \[ q(x) = \textcolor{red}{p(x)} + \textcolor{blue}{2000} \]

Egil antar for det første at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{blue}{2000} \) par. Når \( \textcolor{red}{p(x)} \) går mot \( 0\text{,} \) nærmer \( q(x) \) seg den stiplede linja \( {y = 2000}\text{.} \)

For det andre antar han at det bare er parene over 2000 som blir færre, og at de blir færre med samme prosent hvert år. Det er denne delen \( \textcolor{red}{p(x)} \) beskriver.

For det tredje passer modellen med tallene: \( {q(0) = 9000} \) i 2013 og \( {q(9) = 2500} \) i 2022.

2. Bestem modellene Modellen \( p \) er eksponentiell, starter på 7000 og har en vekstfaktor \( w\text{:} \) \[ p(x) = 7000 \cdot w^x \]

Punktet \( (9, 500) \) gir: \[ 7000 \cdot w^9 = 500 \]

Vi deler med 7000 og tar niende rot, som i b): \[ \begin{aligned} w^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ w &= \sqrt[9]{\dfrac{500}{7000}} \approx 0{,}7459 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{p(x)} &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} \\ q(x) &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} + \textcolor{blue}{2000} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 0{,}7459 \) betyr at antall par over 2000 går ned med omtrent 25,4 % hvert år, som i videoen Vekstfaktor.

1. Lag modellene med regresjon Punktene på \( q \) ligger 2000 over punktene på \( p\text{.} \) Vi finner derfor \( p \) med RegEksp gjennom de to punktene, legger til 2000 og tegner linja \( {y = 2000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000 h: y = 2000

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]Den grå grafen er \( p \) og den blå er \( q\text{.} \) Grafen til \( q \) nærmer seg linja \( {y = 2000}\text{,} \) og det er den stabile bestanden Egil antar.