Matte.no
Taylorrekker og MacLaurinrekker
Taylorrekker, også kjent som Taylorpolynomer er en spesifikk type potensrekke som representerer en funksjon ved å bruke den funksjonens deriverte i et forhåndsbestemt punkt \(a\). MacLaurinrekker, også kjent som MacLaurinpolynomer er bare en Taylorrekke hvor \(a=0\).
Taylorrekke / Taylorpolynom
Gitt en funksjon \(f(x)\) med sentrum \(a\) og grad \(g\) kan vi regne ut tilhørende taylorrekke:
\[ \sum_{n=0}^{g} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \frac{f(a)(x-a)^0}{0!} + \frac{f'(a)(x-a)^1}{1!} + \frac{f''(a)(x-a)^2}{2!} + \,... \]
Her vil:
\(f^{(n)}(a)\) være den \(n\)-te deriverte til \(f(x)\) ved \(x = a\).
\(a\) være rekkens sentrum
\(g\) være rekkens grad. Dersom en grad ikke er spesifisert pleier denne å være satt til \(\infty\)
Maclaurinrekke / Maclaurinpolynom
En Maclaurinrekke er bare en taylorrekke med sentrum i 0. Det vil si at a = 0. Formelen vil derfor se slik ut:
\[ \sum_{n=0}^{g} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n = \frac{f(0)\,x^0}{0!} + \frac{f'(0)\,x^1}{1!} + \frac{f''(0)\,x^2}{2!} + \,... \]
Her vil:
\(f^{(n)}(0)\) være den \(n\)-te deriverte til \(f(x)\) ved \(x = 0\).
\(g\) være rekkens grad. Dersom en grad ikke er spesifisert pleier denne å være satt til \(\infty\)