Matte.no
Logaritmer
Hva i alle dager er en logaritme?
Logaritmer høres kanskje fancy ut, men det er egentlig bare det motsatte av potenser (nesten)! Gitt at du forsto potenser, er du nesten i mål allerede.
Tenk deg at du har den enkle ligningen:
\[ 10^x = 100 \]
Her spør vi oss selv: Hva må vi opphøye 10 i for å få 100? Siden \(10 \cdot 10 = 100\), er svaret opplagt 2. En logaritme er bare en fancy måte å skrive nøyaktig det samme spørsmålet på:
\[ \log_{10}(100) = 2 \]
Det lille 10-tallet forteller oss grunntallet (hva vi tar utgangspunkt i). 100 forteller oss hva vi vil at svaret skal bli når vi opphøyer, og løsningen (2) er eksponenten vi lette etter.
Tre lette logaritmeregler
Akkurat som med potenser, finnes det noen få regler som gjør livet utrolig mye lettere når vi regner. Legg ekstra godt merke til at logaritmer gjør ganging om til plussing. Hokus pokus, men veldig greit å ha med seg!
Regel 1: Når to ting er ganget sammen inni logaritmen, kan du splitte det opp og i stedet plusse de adskilte logaritmene.
\[ \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b) \]
Regel 2: Det motsatte gjelder for brøker. Når de deles inni logaritmen, kan vi splitte det opp til et minusstykke der vi tar telleren minus nevneren.
\[ \log{\left( \frac{a}{b} \right)} = \log(a) - \log(b) \]
Regel 3: Dette er kanskje den viktigste av alle reglene. Har du en potens (en eksponent) stående oppå et tall inni en logaritme? Du kan lovlig ta tak i den og bare flytte den rett foran!
\[ \log(a^x) = x \cdot \log(a) \]
Bonus: Siden epler ganger epler blir epler, og noe opphøyd i null alltid er 1... vil enhver logaritme (uansett grunntall) av tallet 1 alltid gi deg null.
\[ \log(1) = 0 \]
Eksempel
Ble dette litt for mye bokstaver? Vi tar et kjapt eksempel der vi bruker reglene over til å rydde opp.
Vi prøver å forenkle dette uttrykket her så mye som overhodet mulig:
\[ \log(x^2) + \log{\left( \frac{x}{10} \right)} \]