Laplace-transformasjoner

Vi bruker laplace-transformasjoner til å blant annet løse differensiallikninger. Når vi gjennomfører en laplace transformasjon, går vi fra en funksjon av en spesifikk variabel som for eksempel $t$ , til en annen funksjon av en annen variabel som $s$ . Notasjonen er at vi for eksempel går fra en funksjon $f(t)$ til en funksjon $F(s)$ .

Tabell over vanlige Laplace-transformasjoner

Gitt en funksjon $f(t)$ vil tilhørende laplace-transformasjon være: $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ . På samme måte, gitt en funksjon $F(s)$ , vil invers laplace-transformasjon være: $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)$ .

$f(t)$	$F(s)$
$a$	$\frac{a}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$	$\frac{1}{s^n}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$t \cdot e^{at}$	$\frac{1}{(s-a)^2}$
$cos(at)$	$\frac{s}{s^2 + a^2}$
$sin(at)$	$\frac{a}{s^2 + a^2}$
$\frac{sin(at)}{a}$	$\frac{1}{s^2 + a^2}$
$f'(t)$	$s\mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$
$f''(t)$	$s^2\mathcal{L}\{f(t)\} - sf(0) - f'(0)$
$f'''(t)$	$s^3\mathcal{L}\{f(t)\} - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0)$

I alle transformasjonene over vil $a$ være en konstant.

Andre:

\mathcal{L}\{ f(t-c) u(t-c) \} = e^{-sc} \mathcal{L}\{ f(k) \}

Her vil:

u(t-c) = \begin{cases} 0 & t < c \\ 1 & t \geq c \end{cases}

c vil være en konstant. Denne kan være vrien å implementere så se gjerne på videoene hvor vi bruker løser noen eksempler i kapittelet om laplace-transformasjoner.

Formålet? Jo, det er at vi for eksempel tar en differensiallikning med variabel $t$ , gjennomfører en laplace-transformasjon slik at vi får et uttrykk med variabel $s$ . Som regel blir det enklere å løse uttrykket når vi har gjennomført transformasjonen. Når vi har en løsning, gjennomfører vi en invers laplace-transformasjon (går baklengs) og boom, så har vi løst differensiallikningen.