Kjerneregelen
Hva er Kjerneregelen?
Hvis vi har en funkjson
\[ f(x) = g(u(x)) \]
så vil:
\[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \]
NB! Legg merke til at funksjonen \( f(x) \) være "sammensatt" av to funksjoner. Denne kan være litt vanskelig å skjønne seg på ved å se på notasjonene, så ta en titt på eksempelet!
HUSKEREGEL
Vi identifiserer FØRST hva "u" kan være for så å definere en funksjon "g" ved hjelp av denne u'en. SOM REGEL vil det være slik at når du får e opphøyd i "noe" eller tar ln, sin, cos av "noe", så vil denne "noe" være vår "u".
Når bruker vi Kjerneregelen?
Den standard definisjonen er at vi bruker kjernereglen når vi deriverer en funksjon som er satt sammen av to funksjoner. Med andre ord, så vil det si en funksjon som har en annen funksjon i seg. Denne definisjonen er ganske vag og notasjonen over kan være umulig å skjønne seg på, så la oss pin pointe hva vi faktisk mener ved å se på et enkelt eksempel.
Se for deg funksjonen \( f(x) = e^\textcolor{#FF4F00}{2x} \). Dette er en funskjon som er satt sammen av to funksjoner. Nemlig \( \textcolor{#FF4F00}{e} \) som er opphøyd i \( \textcolor{#FF4F00}{2x} \). Her vil \( \textcolor{#FF4F00}{2x} \) være en funksjon i seg selv. Når vi bruker kjerneregelen for å derivere funksjonen gjør vi det på følgende måte:
\[ u(x) = 2x, \quad g(u) = e^u \]
\[ u'(x) = 2, \quad g'(u) = e^u \]
Bruker vi kjerneregelen får vi at \( f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \) som gir oss:
\[ f'(x) = e^u \cdot 2 = 2e^\textcolor{#FF4F00}{u} \]
Siden vi vil derivere funksjonen \( f'(\textcolor{#FF4F00}{x}) \) med hensyn på \( \textcolor{#FF4F00}{x} \) må vi skrive om \( \textcolor{#FF4F00}{u} \) leddet i form av \( \textcolor{#FF4F00}{x} \). Dette er ganske greit siden vi allerede har definert over at \( \textcolor{#FF4F00}{u(x) = 2x} \). Dermed får vi løsningen:
\[ \underline{\underline{f'(x) = 2e^\textcolor{#FF4F00}{2x}}} \]
