Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for 2 x 2 Matriser

Gitt en matrise:

\[ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \]

Kan vi finne egenverdiene til A ved å løse for λ:

\[ \underline{ \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0} \]

Her vil lambdaverdiene (λ) være egenverdiene. Som regel vil man få to egenverdier.

Egenvektorer for 2 x 2 Matriser

Etter vi har funnet egenverdiene kan vi finne egenvektorene ved å løse:

\[ \left[ \begin{matrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \]

Når vi har to egenverdier må vi løse for m og n to ganger. Det betyr at vi setter inn den første egenverdien, løser for m og n (aka. egenvektor 1). Deretter setter vi inn den andre egenverdien og løser for m og n igjen (aka. den andre egenvektoren).